નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} dx$ ..... $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x) + \cos^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)} dx$
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$ અને $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$,તેથી:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} dx$ ..... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$2I = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$